2.1.1 Понятие о деформации и упругом теле

 

Все элементы сооружений или машин должны работать без угрозы поломки или опасного изменения сечений и формы под действием Внешних сил. Размеры этих элементов в большинстве случаев определяет расчет на прочность.

Элементы конструкции должны быть не только прочными, но и достаточно жесткими и устойчивыми.

При расчете на жесткость размеры детали определяются из условия, чтобы при действии рабочих нагрузок изменение ее формы и размеров происходило в пределах, не нарушающих нормальную эксплуатацию конструкции. Расчет на устойчивость должен обеспечить сохранение элементом конструкции первоначальной (расчетной) формы его равновесия. Чаще всего расчет на устойчивость выполняют для сжатых стержней.

Все реальные элементы конструкций и машин под действием на них внешних сил изменяют форму и размеры — деформируются. Способность деформироваться — одно из основных свойств всех твердых тел. Приложение внешних сил изменяет расстояние между молекулами, и тело деформируется. При этом изменяется межмолекулярное взаимодействие и внутри тела возникают силы, которые противодействуют деформации и стремятся вернуть частицы тела в прежнее положение. Эти внутренние силы называют силами упругости.

При малых значениях внешних сил твердое тело после разгрузки обычно восстанавливает свои первоначальные размеры.

Такое свойство твердых тел называется упругостью. Если тело после снятия нагрузки полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, его называют абсолютно упругим, а исчезающие после снятия нагрузки деформации — упругими деформациями.

Опыты показывают, что упругая деформация наблюдается, пока действующие на тело силы не превысят определенного для каждого тела предела; при действии большей нагрузки тело наряду с упругой всегда получает и остаточную деформацию.

Нарушением прочности конструкции считают не только ее разрушение в буквальном смысле слова или появление трещин, но и возникновение остаточных деформаций. Как правило, при проектировании размеры элементов конструкций назначают таким образом, чтобы возникновение остаточных деформаций было исключено.

2.1.2 Основные допущения и гипотезы

 

Для упрощения расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость приходится прибегать к некоторым допущениям и гипотезам о свойствах материалов и характере деформаций. Основные допущения о свойствах материалов сводятся к тому, что материалы, из которых изготовляют конструкции, считают однородными, сплошными и имеющими одинаковые свойства во всех направлениях.

Основные допущения о характере деформаций сводятся к следующему:

1. Перемещения, возникающие в упругих телах под действием внешних сил, очень малы по сравнению с размерами рассматриваемых элементов. Это допущение позволяет во многих случаях не учитывать изменения размеров тел при деформации и связанного с этим изменения в расположении сил.

Рассмотрим упругое тело под действием некоторой системы сил (рис). Вследствие деформации тела изменится взаимное расположение сил, точки их приложения переместятся: точка приложения силы F1перейдет из положения 1 в положение 1', а точка приложения силы F2 — из положения 2 в 2'. Расстояния от точек приложения сил F1 и F2 до жесткой заделки на опоре уменьшатся.

2. Перемещения точек упругого тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам. Это справедливо в известных пределах нагружения. Элементы и конструкции, подчиняющиеся этому допущению, называют линейно деформируемыми.

Пример, поясняющий сущность прямопропорциональной зависимости между нагрузками и перемещениями, приведен на рис. Под действием силы F точка А стержня, изображенного на рис.а, переместится на величину f, а под действием силы 3F перемещение этой точки будет в три раза большим (рис.б).

3. Вследствие малости перемещений, возникающих при расчете деталей машин и конструкций, и прямо пропорциональной зависимости перемещений от нагрузок можно полагать, что внешние силы действуют независимо друг от друга. Это положение известно под названием принципа независимости действия сил (или принципа суперпозиции). Разъясним его на примере.

К телу, изображенному на рис., приложена некоторая система сил F1,F2,F3. Под действием этих сил тело деформируется, и некоторая его точка К перемещается в положение К1. Заданная нагрузка может быть приложена самыми различными способами. Все три силы могут быть приложены одновременно или поочередно. Независимо от этого прогиб в точке К будет одинаковым и равным сумме прогибов от каждой из приложенных сил.

Многие положения статики, справедливые для абсолютно твердого тела, неприменимы при изучении деформаций упругого тела. Так, в статике силу всегда можно было переносить по линии ее действия. Делать это в упругом теле нельзя, так как перенос силы может резко изменить картину нагружения.

На рис.а,б это показано для частного случая: в первом варианте растяжение испытывает весь стержень АС, а во втором — растягивается только его часть ВС. Аналогично не всегда возможна замена одной системы сил другой, статически эквивалентной. Так, в частности, нельзя заменять систему сил их равнодействующей.

2.1.3 Метод сечений. Виды деформации

 

Стержнями (брусьями), называются такие элементы конструкций, длина которых значительно превышает их поперечные размеры. Кроме стержней (брусьев) могут встречаться пластины или оболочки, у которых только один, размер (толщина) мал по сравнению с двумя другими, и массивные тела, у которых все три размера примерно одинаковы. Расчеты на прочность пластин, оболочек и массивных тел значительно сложнее, чем расчеты стержней, и рассматриваются в специальных курсах.

Как отмечалось, внешние силы, действующие на тело, вызывают в нем дополнительные внутренние силы, стремящиеся противодействовать деформации. Обнаружить возникающие в нагруженном теле внутренние силы можно, применив метод сечений. Суть этого метода заключается в том, что внешние силы, приложенные к отсеченной части тела, уравновешиваются внутренними силами, возникающими в плоскости сечения и заменяющими действие отброшенной части тела на остальную.

Стержень, находящийся в равновесии (рис.а),

Рассечем на две части I u II (рис.б). В сечении возникают внутренние силы, уравновешивающие внешние силы, приложенные к оставленной части. Это позволяет применить к любой части тела I или II условия равновесия, дающие в общем случае пространственной системы сил шесть уравнений равновесия:

Эти уравнения позволяют отыскать составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил.

При действии пространственной системы сил из уравнения равновесия можно найти возникающие в поперечном сечении три составляющие силы Nz,Qx,Qy (составляющие главного вектора внутренних сил), направленные по координатным осям, и три составляющие момента M z,Mx,My (составляющие главного момента внутренних сил). Указанные силы и моменты, являющиеся внутренними силовыми факторами (рис.в),

соответственно называютсяNz: — продольная сила;Qx,Qy — поперечные силы;Mx,My — изгибающие моменты; M z— крутящий момент.

В частных случаях отдельные внутренние силовые факторы могут быть равны нулю.

Так, при действии на стержень плоской системы сил (в продольной плоскости zу) в его сечениях могут возникнуть только три силовых фактора: изгибающий момент Мх и две составляющие главного вектора этой системы — поперечная сила Qy и продольная сила Nz. Соответственно для этого случая можно составить три уравнения равновесия:

Координатные оси всегда будем направлять следующим образом: ось z — вдоль оси стержня, оси х и у — вдоль главных центральных осей его поперечного сечения, а начало координат в центре тяжести сечения.

Для определения внутренних силовых факторов необходимо руководствоваться следующей последовательностью действий:

1. Мысленно провести сечение в интересующей нас точке конструкции или стержня.

2. Отбросить одну из отсеченных частей и рассмотреть равновесие оставленной части.

3. Составить уравнения равновесия для оставленной части и определить из них значения и направления внутренних силовых факторов.

Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении стержня, определяют деформированное состояние.

При осевом растяжении и сжатии внутренние силы в поперечном сечении могут быть заменены одной силой, направленной вдоль оси стержня (рис.57) — продольной силой N (индекс z, как правило, будем опускать). В случае, если сила направлена к отброшенной части наружу, имеет место растяжение -(рис.57,а). Наоборот, если она направлена от отброшенной части внутрь (рис.57,б), имеет место сжатие.

Сдвиг возникает в том случае, когда в поперечном сечении стержня внутренние силы приводятся к одной силе, расположенной в плоскости сечения (рис.58), — к поперечной силе Q.

При кручении возникает один внутренний силовой фактор — крутящий момент Мz = Mk(рис.59).

Если в сечении возникает только изгибающий момент Мх или Мy (рис.60), имеет место чистый изгиб. Если же кроме изгибающего момента в сечении стержня возникает еще поперечная сила, то изгиб называют поперечным. Случаи действия в поперечных сечениях стержня одновременно нескольких внутренних силовых факторов относят к сложным видам деформированного состояния.

Для расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость прежде всего необходимо с помощью метода сечений определить возникающие внутренние силовые факторы.

2.1.4 Напряжение

 

Метод сечений не позволяет установить закон распределения внутренних сил по сечению. Необходимы дополнительные допущения о характере деформации. Эти допущения вводят при изучении различных видов деформации бруса.

Поскольку напряжение представляет собой отношение внутренней силы к некоторой площади, оно измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади.

Для измерения напряжений в Международной системе единиц (СИ) служит ньютон на квадратный метр, названный паскалем Па (Па = Н/м^2). Так как эта единица очень мала и пользоваться ею неудобно, применяют кратные единицы (кН/м^2, МН/м^2 и Н/мм^2). Отметим, что 1 МН/м^2 = 1 МПа = 1 Н/мм^2. Эта единица наиболее удобна для практического использования.

В технической системе единиц (МКГСС) для измерения напряжений применяли килограмм-силу на квадратный сантиметр. Соотношение между единицами измерения напряжений в Международной и технической системах устанавливается на основе соотношения между единицами сил: 1 кгс = 9,81 Н = 10 Н. Приближенно можно считать: 1 кгс/см^2 = 10 Н/см^2 = 0,1 Н/мм^2 = 0,1 МПа или 1 МПа = 10 кгс/см^2.

Проведем в теле через точку А другое сечение, например mnst (рис.,а). Обнаружим, что по этому сечению действуют напряжения, отличные от напряжений но сечению abed.

Через одну и ту же точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, разделяющих тело на две части. Напряжения по разным сечениям, проведенным через одну и ту же точку тела, в общем случае будут различны. Таким образом, напряжение в данной точке зависит от ориентировки проведенного через точку сечения, поэтому нельзя говорить о напряжениях, не указывая положения сечения, в котором они возникают.

Напряжения характеризуются числовым значением и направлением, т. е. напряжение представляет собой вектор, наклоненный под тем или иным углом к рассматриваемому сечению.

Пусть в точке М какого-либо сечения тела по некоторой малой площадке A действует сила F под некоторым углом к площадке (рис.63,а). Поделив эту силу F на площадь А, найдем возникающее в точке М среднее напряжение (рис.63,б): p=F/A.

Истинные напряжения в точке М определяются при переходе к пределу

Полное напряжение р можно разложить на составляющие: по нормали (перпендикуляру) к площадке А и по касательной к ней (рис,63,в). Составляющую напряжения по нормали называют нормальным напряжением в данной точке сечения и обозначают греческой буквой (сигма); составляющую по касательной называют касательным напряжением и обозначают греческой буквой (тау).

Напряжение, при котором происходит разрушение материала или возникают заметные пластические деформации, называют предельным.

Чтобы избежать разрушения элементов сооружений или машин, возникающие в них рабочие (расчетные) напряжения не должны, превышать допускаемых напряжений, которые обозначают в квадратных скобках. Допускаемые напряжения — это максимальные значения напряжений, обеспечивающие безопасную работу материала. Допускаемые напряжения назначаются как некоторая часть экспериментально найденных предельных напряжений, определяющих исчерпание прочности материала:

где [n] - требуемый или допускаемый коэффициент запаса прочности, показывающий, во сколько раз допускаемое напряжение должно быть меньше предельного.

Коэффициент запаса прочности зависит от свойств материала, характера действующих нагрузок, точности применяемого метода расчета и условий работы элемента конструкции.

Предыдущий раздел

Главная Содержание

Следующий раздел